کار در کلاس الف محاسبه حدهای جبری حسابان یازدهم
الف) مقدار حدهای زیر را بیابید.
۱) $\lim_{x \to -۱} x^۴$
۲) $\lim_{x \to ۰} (۵x^۲ - ۶|x| + ۱)$
۳) $\lim_{x \to -۲} \frac{x^۲ + ۴x + ۴}{x^۳ - ۷x + ۱}$
۴) $\lim_{x \to \frac{۱}{۲}^-} \frac{x - [x]}{۱ - x}$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس الف صفحه ۱۳۴ حسابان یازدهم
سلام! برای محاسبه حدهای توابع جبری و جزء صحیح، از **قوانین مستقیم حد** (جایگذاری) و **حدود یک طرفه** استفاده میکنیم. 🧠
---
### ۱) $\lim_{x \to -۱} x^۴$
* **نوع تابع**: چندجملهای، پیوسته در همه جا.
* **محاسبه**: حد برابر با مقدار تابع است (جایگذاری مستقیم).
$$\lim_{x \to -۱} x^۴ = (-۱)^۴ = \mathbf{۱}$$
---
### ۲) $\lim_{x \to ۰} (۵x^۲ - ۶|x| + ۱)$
* **نوع تابع**: شامل قدر مطلق. تابع $|x|$ در $x=۰$ پیوسته است.
* **محاسبه**: حد برابر با مقدار تابع است (جایگذاری مستقیم).
$$\lim_{x \to ۰} (۵x^۲ - ۶|x| + ۱) = ۵(۰)^۲ - ۶|۰| + ۱ = ۰ - ۰ + ۱ = \mathbf{۱}$$
---
### ۳) $\lim_{x \to -۲} \frac{x^۲ + ۴x + ۴}{x^۳ - ۷x + ۱}$
* **نوع تابع**: گویا. ابتدا مخرج را بررسی میکنیم.
* **بررسی مخرج در $x=-۲$**:
$$(-۲)^۳ - ۷(-۲) + ۱ = -۸ + ۱۴ + ۱ = ۷$$
* **محاسبه**: چون حد مخرج غیر صفر است، حد برابر با نسبت حد صورت به حد مخرج است (جایگذاری مستقیم).
$$\lim_{x \to -۲} (x^۲ + ۴x + ۴) = (-۲)^۲ + ۴(-۲) + ۴ = ۴ - ۸ + ۴ = ۰$$
$$\lim_{x \to -۲} \frac{x^۲ + ۴x + ۴}{x^۳ - ۷x + ۱} = \frac{۰}{۷} = \mathbf{۰}$$
---
### ۴) $\lim_{x \to \frac{۱}{۲}^-} \frac{x - [x]}{۱ - x}$
* **نوع حد**: حد چپ در $x = \frac{۱}{۲}$.
* **سادهسازی جزء صحیح**: وقتی $x$ از چپ به $\frac{۱}{۲}$ نزدیک میشود (مثلاً $۰.۴, ۰.۴۹, ots$)، $x$ در بازه $[۰, ۱)$ است. پس $\mathbf{[x] = ۰}$.
* **بازنویسی حد**:
$$\lim_{x \to \frac{۱}{۲}^-} \frac{x - [x]}{۱ - x} = \lim_{x \to \frac{۱}{۲}^-} \frac{x - ۰}{۱ - x} = \lim_{x \to \frac{۱}{۲}^-} \frac{x}{۱ - x}$$
* **محاسبه**: تابع جدید در $x = \frac{۱}{۲}$ پیوسته است (مخرج $
e ۰$).
$$\lim_{x \to \frac{۱}{۲}^-} \frac{x}{۱ - x} = \frac{\frac{۱}{۲}}{۱ - \frac{۱}{۲}} = \frac{\frac{۱}{۲}}{\frac{۱}{۲}} = \mathbf{۱}$$
کار در کلاس ب محاسبه حد از روی نمودار و قانون حد ضرب حسابان یازدهم
ب) نمودار تابع $f$ در شکل روبهرو رسم شده است. مقدار $\lim_{x \to ۲} x f(x)$ را بیابید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ب صفحه ۱۳۴ حسابان یازدهم
سلام! برای حل این حد، از **قانون حد ضرب** ($athbf{\lim (fg) = \lim f \cdot \lim g}$) و خواندن $\lim_{x \to ۲} f(x)$ از روی نمودار استفاده میکنیم.
---
### ۱. محاسبه حد $f(x)$ از روی نمودار
* **حد راست ($athbf{x \to ۲^+}$)**: وقتی $x$ از راست به ۲ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $athbf{y = ۳}$ نزدیک میشود.
* **حد چپ ($athbf{x \to ۲^-}$)**: وقتی $x$ از چپ به ۲ نزدیک میشود، نمودار به ارتفاع $athbf{y = ۳}$ نزدیک میشود.
* **نتیجه**: حد $f(x)$ در $x=۲$ وجود دارد:
$$\mathbf{\lim_{x \to ۲} f(x) = ۳}$$
### ۲. محاسبه حد $x$
* **نوع تابع**: تابع همانی ($y=x$)، پیوسته در همه جا.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۲} x = ۲}$$
### ۳. محاسبه حد ضرب
با استفاده از قانون حد ضرب:
$$\lim_{x \to ۲} x f(x) = (\lim_{x \to ۲} x) \cdot (\lim_{x \to ۲} f(x))$$
$$\lim_{x \to ۲} x f(x) = (۲) \cdot (۳) = \mathbf{۶}$$
